Родился в Томской области. После окончания Красноярского колледжа искусств им. Иванова-Радкевича в 2012 году поступил в Санкт-Петербургскую консерваторию им. Н.А. Римского-Корсакова (вокальный факультет, класс преподавателя народного артиста России Ю.М. Марусин), которую окончил в 2017 году.

В 2011 году завоевал 1-ю премию Международного конкурса «Романсиада» в Москве, а в 2015 году принял участие в опере «Кармен» Ж. Бизе в постановке в Эрмитажном театре (роль Дона Хосе).

С 2016 по 2018 годы стажировался в оперной студии Гамбургской государственной оперы (Staatsoper Hamburg). Во время стажировки исполнил партии Жреца в опере В.А. Моцарта «Волшебная флейта», Еврея в опере Р. Штрауса «Саломея», Комиссара в опере Ф. Пуленка «Диалоги кармелиток», Норманно в опере Г. Доницетти «Лючия ди Ламмермур», Ерошки в опере А. Бородина «Князь Игорь», Стража в опере Р. Вагнера «Парсифаль», Горо в опере Дж. Пуччини «Мадам Баттерфляй», Дурака в опере А. Берга «Воццек», Аякса в опере Ж. Оффенбаха «Прекрасная Елена», Штурмана в опере Р. Вагнера «Летучий Голландец», Посланника в опере Дж. Верди «Аида», Софи в опере Г.Ф. Телемана «Миривейс».

В ноябре 2018 года завоевал 2-ю премию на III Concorso Internazionale di Canto Lirico «Angelo Loforese» в Милане, Италия.

В декабре 2018 года был приглашен в Пловдивский национальный оперный театр (Болгария) для исполнения роли Рудольфо в «Богеме» Дж. Пуччини.

В ноябре 2019 года стал финалистом XIII Concorso Lirico Internazionale «Magda Olivero» и был приглашен исполнить роль Альфреда в «Травиате» Дж. Верди в Милане, Италия.

С 2019 по 2020 год стажировался в Академии Театра алла Скала (Accademia Teatro alla Scala). На сцене театра Ла Скала спел партии Жозефа (Дж. Верди «Травиата»), Кузьки и Стрешнева (М.П. Мусоргский «Хованщина»), Викторина (Э.В. Корнгольд «Мёртвый город»).

В апреле 2021 года Сергей Абабкин стал солистом Московского музыкального театра «Геликон-опера», дебютировав в роли Ленского в спектакле «Евгений Онегин» П.И. Чайковского.

В репертуаре Сергея в настоящее время следующие партии: Герцог (Дж. Верди «Риголетто»), Альфред (Дж. Верди «Травиата»), Лыков (Н.А. Римский-Корсаков «Царская невеста»), Дон Хозе (Ж. Бизе «Кармен»), Ленский (П.И. Чайковский «Евгений Онегин»), Молодой цыган (С.В. Рахманинов «Алеко»), Антонио (С.С. Прокофьев «Обручение в монастыре»), Водемон (П.И. Чайковский «Иоланта»), Фентон (Дж. Верди «Фальстаф»), Бельфьоре (В.А. Моцарт «Мнимая садовница»).