Окончил вокальное отделение АМУ при Московской государственной консерватории им. П.И. Чайковского. Перед поступлением в Российскую Академию музыки им. Гнесиных отслужил в вооружённых силах как солист военного ансамбля РВСН. Совершенствовался в классе солиста Парижской оперы и ГАБТ Леонида Бомштейна Леонида (доцент РАМ им. Гнесиных).

Георгий Екимов участвовал во множестве мастер-классов известных певцов и дирижёров: Павла Кудрявченко, Любови Казарновской, Евгения Нестеренко, Владимира Чернова, Рамона де Андреаса, Эндрю Лоуренса Кинга (по барочной музыке), Анны Скибински и Ричарда Барретта, Марины Мещеряковой.

Лауреат международных конкурсов. Ещё в детстве, обучаясь игре на фортепиано, органе и блокфлейте, дважды взял первые премии на международных конкурсах юных пианистов в Италии; в качестве вокалиста в 2015-2016 гг. завоевал Гран-при московского конкурса «Соловьиная роща» (с 2017 года приглашён в жюри этого конкурса), I премию ММФСМ; затем III премию на международном конкурсе оперных певцов в Праге ("Vissi D'Arte"; под председательством знаменитого баритона Владимира Чернова). 

Будучи студентом I курса, Георгий Екимов исполнил партию Симоне в опере Пуччини «Джанни Скикки» и заглавную партию в опере Моцарта «Свадьба Фигаро» на сцене оперного театра-студии имени Ю.А. Сперанского при РАМ им. Гнесиных.

В 2017 году принят в труппу Московского музыкального театра «Геликон-опера». На сцене театра исполнил уже более 20 ролей.

Стажировался в Швейцарии (Opernwerkstatt 2018) и Китае (iSING opera festival 2019).

В феврале 2019 года дебютировал в роли Базилио («Севильский цирюльник» Дж. Россини) в театре LesArts Reigna Sofia (Валенсия, Испания). На сцене театра An der Wien (Вена, Австрия) в концертном исполнении спел партию Бертрана («Иоланта» Чайковского) и Орлика («Мазепа» Чайковского).

Выступал в концертных программах в Монреале (Канада), в Валенсии (Испания), в Китае (Нанджин, Шанхай). В Москве сотрудничал в жанре камерной музыки с АОРНИ им. Некрасова (дирижёр Андрей Шлячков) и с ОРНИ им. Осипова (дирижёр Виктор Кузовлёв). Сотрудничал с такими известными дирижерами, как Феликс Коробов, Оливер Диаз, Эндрю Лоуренс-Кинг.