Родился в Екатеринбурге. Окончил Уральскую государственную консерваторию им. М. П. Мусоргского и Московскую государственную консерваторию им. П. И. Чайковского, а также ассистентуру-стажировку при Московской консерватории в классе народного артиста СССР, профессора Геннадия Рождественского.

Профессиональное мастерство Антона Шабурова подтверждают победы на международных конкурсах Jeunesses musicales в Бухаресте (Румыния – I премия), имени Ф. Мендельсона в Салониках (Греция – I премия), а также на Всероссийском конкурсе имени И. А. Мусина (г. Кострома – Гран при и приз зрительских симпатий).

С 2021 года Антон Шабуров – художественный руководитель и главный дирижёр Ростовского академического симфонического оркестра.

В качестве приглашённого дирижёра выступал с ведущими российскими и зарубежными коллективами, среди которых Большой симфонический оркестр имени П. И. Чайковского, Академический симфонический оркестр Московской филармонии, Симфонический оркестр Мариинского театра, Московский государственный академический симфонический оркестр под управлением Павла Когана, Симфонический оркестр «Новая Россия» под управлением Юрия Башмета, Государственный Симфонический оркестр Республики Татарстан под управлением Александра Сладковского, Новосибирский академический симфонический оркестр, Уральский молодёжный симфонический оркестр, Филармонический оркестр имени Джордже Энеску (Бухарест, Румыния), Филармонический оркестр имени Золтана Кодай (Дебрецен, Венгрия), Симфонический оркестр города Гроссето (Италия), Симфонический оркестр города Салоники (Греция), Молодёжный симфонический оркестр Берлина (Германия).

В 2017-2020 году Антон Шабуров являлся художественным руководителем и главным дирижёром Дальневосточного академического симфонического оркестра (г. Хабаровск). За время работы молодого дирижёра существенно расширился репертуар ДВАСО, впервые в Хабаровске прозвучал целый ряд ранее не исполнявшихся сочинений Д. Шостаковича, С. Прокофьева, Н. Черепнина, А. Шнитке, Б. Бриттена, Э. Вила-Лобоса. В октябре 2018 года ДВАСО под руководством Антона Шабурова успешно выступил на V Симфоническом форуме России в Екатеринбурге.

С 2017 года Антон Шабуров – постоянный приглашённый дирижёр Приморской сцены Мариинского театра (г. Владивосток). В 2018 году по приглашению Валерия Гергиева дирижировал симфоническим оркестром Приморской сцены Мариинского театра на III Международном Дальневосточном фестивале «Мариинский» Владивосток.

В марте 2019 года филармонический оркестр города Тыргу-Муреш (Румыния) избрал Антона Шабурова своим главным приглашённым дирижёром.

 Среди сценических партнёров Антона Шабурова такие выдающиеся музыканты, как Юрий Башмет, Александр Князев, Борис Андрианов, Екатерина Мечетина, Александр Гиндин, Вадим Руденко, Михаил Лидский, Никита Борисоглебский, Сергей Догадин, Александр Рамм, Вероника Джиоева и многие другие.